Λεονάρντο της Πίζας ή Φιμπονάτσι και η χρυσή τομή

by admin
Λεονάρντο της Πίζας ή Φιμπονάτσι και η χρυσή τομή

Για τους πυθαγόρειους, οι μη ποσοτικές ιδιότητες των αριθμών σήμαιναν ότι μπορούσαν να χρησιμεύσουν ως ηθικά αρχέτυπα. Έτσι η μελέτη των μαθηματικών μπορούσε να ρίξει φως στην ανθρώπινη συμπεριφορά. Έτσι, αναπόφευκτα ο μαθηματικός ήταν ένας σπουδαστής της ηθικής. Ο νεότερος διαχωρισμός ανάμεσα στα μαθηματικά και την ηθική, που τόσο δεδομένο τον θεωρούμε, θα είχε κάνει τον Πυθαγόρα να διαφωνεί. Ένας τέτοιος μαθηματικός με φιλοσοφική σκέψη ήταν και ο Λεονάρντο της Πίζας ή πιο γνωστός ως Φιμπονάτσι

Πρόκειται για τον μεγαλύτερο Ευρωπαίο μαθηματικό του μεσαίωνα. Γεννήθηκε γύρω στο 1175, μεγάλωσε και σπούδασε στη σημερινή αλγερινή πόλη Beja’ia κάτω από τους Μαυριτανούς. Αργότερα ταξίδεψε εκτενώς γύρω από τις ακτές της Μεσογείου. Είχε συναντηθεί με πολλούς εμπόρους και έμαθε για τα αριθμητικά συστήματα τους. Σύντομα συνειδητοποίησε τα πολλά πλεονεκτήματα του «ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος έναντι όλων των άλλων.

Αυτά τα πρώτα του ταξίδια τελειώνουν γύρω στο 1200 και τότε επιστρέφει στην Πίζα όπου γράφει μαθηματικά κείμενα. Είμαστε τυχεροί να τα κατέχουμε καθώς στην εποχή του δεν είχε εφευρεθεί η τυπογραφία. Το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Έδειχνε την πρακτικότητα του αραβικού αριθμητικού συστήματος. Ειδικά στην τήρηση εμπορικών βιβλίων, στις χρηματικές συναλλαγές, τις μετατροπές των μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό των επιτοκίων και άλλες εφαρμογές. Το βιβλίο έτυχε θερμής υποδοχής ανάμεσα στους λογίους της Ευρώπης. Τους επηρέασε σημαντικά αν και το σύστημα έγινε ευρέως γνωστό μετά την εφεύρεση της τυπογραφίας.

Ο Λεονάρντο, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα, έχει θέση δίπλα στον Κοπέρνικο, τον Κέπλερ και τον συμπατριώτη του Γαλιλαίο.

Η ακολουθία Φιμπονάτσι

Ο Λεονάρντο της Πίζας έμεινε στην ιστορία για την περίφημη Ακολουθία Φιμπονάτσι αλλά και για την εισαγωγή στην Ευρώπη του αραβικού δεκαδικού συστήματος αρίθμησης καθώς και άλλων μαθηματικών καινοτομιών σε μια σκοτεινή εποχή για τις επιστήμες στην Ευρώπη.

Η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στα Μαθηματικά των Ινδών και συγκεκριμένα σε Σανσκριτικές Προσωδίες. Στην Σανσκριτική προφορική παράδοση, δίνονταν μεγάλη έμφαση κατά πόσο οι μακρόσυρτες συλλαβές (Μ) συνέπιπταν με τις σύντομες (Σ), και μετρούσαν τα διαφορετικά πρότυπα των Μ και των Σ μέσα σε ένα προκαθορισμένο διάστημα, κάτι που οδήγησε στους αριθμούς Φιμπονάτσι. Ο αριθμός των προτύπων που γίνονται m σύντομες συλλαβές μακρόσυρτες είναι ο αριθμός Φιμπονάτσι Fm+1.

Η ανάπτυξη τη ακολουθίας Φιμπονάτσι αποδίδεται στον Pingala (200 π.Χ.), αλλά η πρώτη ξεκάθαρη αναφορά στην Ακολουθία γίνεται στα έργα του Virahanka (700 μ.Χ.), τα έργα του οποίου δε σώζονται, αλλά μεταφέρθηκαν αυτούσια στα έργα του Gopala (1153 μ.Χ.). Σε μία από τις σελίδες του βιβλίου Liber Abaci του Φιμπονάτσι περιέχεται η συγκεκριμένη ακολουθία.

Ο Φιμπονάτσι και τα… κουνέλια του

Στη Δύση, όπως είπαμε πιο πάνω, οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται για πρώτη φορά στο βιβλίο Liber Abaci (1202) του Λεονάρντο της Πίζας. Ο Φιμπονάτσι παίρνει ως δεδομένο ένα ιδανικό πληθυσμό κουνελιών. Κάνει τις εξής υποθέσεις: έχουμε ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών (αρσενικό και θηλυκό) σε ένα χωράφι, τα κουνέλια είναι σε θέση να ζευγαρώσουν σε ηλικία ενός μήνα από τη γέννησή τους έτσι ώστε στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό να μπορεί να γεννήσει ένα ζευγάρι κουνελιών, τα κουνέλια δε πεθαίνουν ποτέ και κάθε ζευγάρι κουνελιών γεννάει ένα νέο ζευγάρι (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθε μήνα από τον δεύτερο μήνα και μετά. Το ερώτημα που έθεσε ο Φιμπονάτσι ήταν: πόσα ζεύγη κουνελιών θα έχουν γεννηθεί μέσα σε ένα έτος;

Στο τέλος του πρώτου μήνα, ζευγαρώνουν, αλλά ακόμη υπάρχει μόνο ένα ζεύγος.

Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννάει ένα νέο ζεύγος, οπότε στο χωράφι υπάρχουν δύο ζεύγη κουνελιών.

Στο τέλος του τρίτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει και δεύτερο ζεύγος, οπότε έχουμε τρία ζεύγη κουνελιών.

Στο τέλος του τέταρτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει ακόμη ένα ζεύγος. Το θηλυκό που γεννήθηκε δύο μήνες πριν γεννάει το πρώτο της ζεύγος, οπότε έχουμε πέντε ζεύγη κουνελιών στο χωράφι.

Στο τέλος του νιοστού μήνα, το πλήθος των ζευγών των κουνελιών είναι ίσο με το πλήθος των νέων ζεύγων (η-2) προσθέτοντας το πλήθος ζευγών που υπήρχαν στο χωράφι τον προηγούμενο μήνα (η-1). Αυτός είναι ο νιοστός αριθμός Φιμπονάτσι.

Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία 0,1,1,2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181,6765,10946. Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη.

Η “χρυσή τομή

Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον γνωστό «χρυσό λόγο» που είναι ίσος με τον άρρητο αριθμό φ=1,61803…(φ προς τιμήν του Έλληνα γλύπτη Φειδία). Όπως παρατηρείτε: 2/1 =2,3/2=1.5,5/3=1,666…, 8/5=1.6,13/8=1.625, 21/13=1.615 10946/6765=1,61803…

Μια πρόσφατη μαθηματικό-ιστορική ανάλυση της περιόδου και της περιοχής στην οποία έζησε ο Fibonacci προτείνει ότι στην πραγματικότητα οι μελισσοκόμοι της Bejaia και οι γνώσεις τους σχετικά με την αναπαραγωγή των μελισσών αποτέλεσαν την πηγή έμπνευσης της ακολουθίας Fibonacci και όχι το ευρύτερα ίσως γνωστό μοντέλο της αναπαραγωγής κουνελιών.

Ο Fibonacci πίστευε ότι αυτοί οι αριθμοί μπορούν να ξεκλειδώσουν τα μυστικά της Φύσης. Αυτό μπορούμε να το αντιληφθούμε αν λάβουμε υπόψη πως η ακολουθία του, καθώς και η λογαριθμική σπείρα που δημιουργείται σε σχέση με τον αριθμό Φ, απαντώνται σχεδόν παντού:

1. Βοτανολογία, Βιολογία:

Στην ανάπτυξη των φυτών, στο γενεαλογικό δένδρο της αρσενικής μέλισσας, σε κελύφη σαλιγκαριών, στα κέρατα του κριού, στην ανάπτυξη του ανθρώπου, στα σταυροδρόμια της βιολογίας και των μαθηματικών.

2. Φυσικές Επιστήμες:

Στην ατομική σχάση, στην ηλεκτρονική ανάλυση δικτύων, στον προγραμματισμό των Η/Υ, στις διακλαδώσεις των ποταμών, στα κύματα των ωκεανών, στους ανεμοστρόβιλους, στο ηλιακό σύστημα, στους γαλαξίες και άλλα.

3. Οικονομία, Εκπαίδευση, Ποίηση, Μουσική:

Στους κύκλους των χρηματαγορών, στην εκπαίδευση μαθητών με δυσκολίες στη μάθηση, στην ανάλυση της ποίησης, σε μουσικά αριστουργήματα.

4. Αρχαιολογία, Αρχιτεκτονική, Τέχνη:

Στη Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα, στη Μινωική αρχιτεκτονική, στον Παρθενώνα της Ακρόπολης Αθηνών, σε μωσαϊκά των αρχαίων Ρωμαίων και άλλα.

Ας σημειωθεί πως ο όρος «Ακολουθία Φιμπονάτσι» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Εδουάρδο Λούκας. Πηγή: physics4u.gr

Δείτε και άλλα ενδιαφέροντα άρθρα:

Πυθαγόρας – Ο μεγάλος δάσκαλος της Αρχαίας Ελλάδας

Πυθαγόρεια αριθμολογία

Υπατία, η Αλεξανδρινή Φιλόσοφος και Επιστήμονας

Είναι το σύμπαν μας ένας γιγάντιος ψηφιακός υπολογιστής;

 

Σχετικά άρθρα